Масъалаи № 42. в) Исбот карда шавад, ки \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) беохир хурд аст (яъне ҳудуди баробар ба 0 дорад), тавассути ба ҳаргуна адади \(\varepsilon > 0\) мувофиқ гузоштани адади \(N = N(\varepsilon)\), ки \(|x_n| < \varepsilon\) ҳангоми \(n > N\), агар
в) \(x_n = \frac{1}{n!}\).
Ҷадвали зерин пур карда шавад:
\(\varepsilon\) | 0,1 | 0,001 | 0,0001 |
\(N\) |
Ҳалли в).
Барои дилхоҳ адади натуралии \(n > 0\) нобаробари зерин ҷой дорад:
\( 2^n \leq n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot\, ... \).
Аз ин ҷо
\(|x_n| = \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{2^n}\)
барои дилхоҳ адади натуралии \(n > 0\).
Яъне, агар адади \(N = N(\varepsilon)\) чунин бошад, ки барои дилхоҳ адади натуралии \(n > N\) нобаробарии зерин иҷро мешавад:
\(\frac{1}{2^n} < \varepsilon\),
пас барои ин адади натуралии \(n\) инчунин нобаробарии зерин иҷро мешавад:
\((1)\quad |x_n| = \frac{1}{n!} < \varepsilon\).
Бигзор адади натуралии \(N\) чунин бошад, ки
\(\frac{1}{2^N} \leq \varepsilon\).
Аз ин ҷо
\(\frac{1}{\varepsilon} \leq 2^N\)
\(N \geq \log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\).
Пас, агар \(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil\) бошад, онгоҳ барои дилхоҳ адади натуралии \(n > N\) нобаробарии (1) иҷро мешавад.
Бигзор \(\varepsilon > 0\) и \(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil\), пас
\(|x_n| = \frac{1}{n!} < \varepsilon\),
ҳангоми \(n > N\).
Ин маъно онро дорад, ки пайдарпаии \(x_n = \frac{1}{n!}\) \((n = 1, 2, ...)\) беохир хурд аст (яъне ҳудуди баробар ба 0 дорад).
1) Агар \(\varepsilon = 0,1\), онгоҳ
\(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{0,1}\right)\right\rceil = 4 \).
Барои дилхоҳ адади \(n > 4\)
\(|x_n| < 0,1\)
мешавад.
2) Агар \(\varepsilon = 0,001\), онгоҳ
\(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{0,001}\right)\right\rceil = 10 \).
Барои дилхоҳ адади \(n > 10\)
\(|x_n| < 0,001\)
мешавад.
3) Агар \(\varepsilon = 0,0001\), онгоҳ
\(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{0,0001}\right)\right\rceil = 14 \).
Барои дилхоҳ адади \(n > 14\)
\(|x_n| < 0,0001\)
мешавад.
Ҷадвалро пур мекунем:
\(\varepsilon\) | 0,1 | 0,001 | 0,0001 |
\(N\) | 4 | 10 | 14 |